Recettes de TP

On donne l'exemple d'une mesure de tension continue avec un multimètre, avec l'extrait de la notice de l'appareil.

On commence par déterminer la gamme de mesure (c'est la plus petite valeur supérieure à la valeur mesurée). Puis on lit une précision de ±0.8 % + 1 chiffre. Dans le cas présent, l'incertitude sur la tension est : $δ u = 0,008 \times 1,038 + 0,001 = 0,009 V$

1 chiffre signifie qu'il faut ajouter la valeur 1 à la position du dernier chiffre affiché.

On utilise la notice de l'appareil.

L'interface possède 4 gains programmables. Il faut commencer par déterminer celui utilisé. Le gain par défaut est le gain 1 qui donne une gamme de mesure de ±10V.
La notice indique que la tension d'entrée est convertie sur 12 bits, ce qui donne $2^{12} = 4096$ valeurs possible de tension entre -10V et +10V. Les valeurs de tension possibles sont séparées de $20 V / 4096 \approx 5 m V$
Enfin la notice indique que la précision est de ± 1LSB (least significant bit ou bit de poids faible). C'est-à-dire que l'incertitude correspond à l'intervalle minimum entre deux tensions, soit $δ u = 5 m V$ .

On cherche l'incertitude $δ f$ sur la valeur $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ d'une fonction de $x_{1}$ , $x_{2}$ et $x_{3}$ , connaissant les incertitudes $δ x_{1}$ , $δ x_{2}$ et $δ x_{3}$ .

La formule générale est :

δ f = \sqrt{{(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} δ x_{1})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial x_{2}} δ x_{2})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial x_{3}} δ x_{3})}^{2}}

La notation $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}$ signifie la dérivée de $f$ par rapport à $x_{1}$ , on fait comme si toutes les autres variables étaient constantes.

Par exemple, si on mesure un angle $i$ avec une incertitude $δ i$ et un indice $n$ avec une incertitude $δ n$ , alors l'incertitude sur $f (n, i) = n \sin (i)$ est :

δ (n \sin (i)) = \sqrt{{(\frac{\partial f}{\partial n} δ n)}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial i} δ i)}^{2}} = \sqrt{(\sin (i) δ n)^{2} + (n \cos (i) δ i)^{2}}

import numpy as np
# skiprows permet d'ignorer la première ligne du fichier qui contient les titres des colonnes.
data = np.loadtxt("data.txt", skiprows=1)

Il faut indiquer le chemin complet du fichier data.txt. Les données sont chargées dans le tableau numpy appelé data.

Lorsqu'on importe avec la commande data = np.loadtxt("fichier.txt") un fichier qui comporte plusieurs colonnes, par exemple :

temps  distance
1 1.234
2 2.432
3 3.432
...

On peut extraire la liste des temps et la liste des distance dans des tableau numpy en faisant

t = data[:,0]
d = data[:,1]

lx et ly sont des listes (tableaux numpy ou listes python) contenant les valeurs de x et de y. lux et luy sont des listes contenant les incertitudes associées à x et y. On trace le graphique représentant y = f(x) avec les barres d'erreur correspondantes de la manière suivante :

plt.errorbar(lx, ly, yerr=luy, xerr=lux, fmt="o", capsize=3, zorder=0)

Si lx et ly sont des listes de valeurs de x et y (listes python ou tableaux numpy), on peut déterminer le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b de la droite passant au plus proche des points en faisant

a, b = np.polyfit(lx, ly, 1)

Si lx et ly sont des listes de valeurs de x et y (tableaux numpy), on peut déterminer le coefficient directeur a de la droite d'équation y=ax passant au plus proche des points en faisant

a = np.sum(lx*ly)/np.sum(lx**2)

Si lx et ly sont des listes de valeurs de x et y (listes python ou tableaux numpy), lux et luy sont les listes des incertitudes-type sur les valeurs de x et y. On peut déterminer les paramètres a et b de la droite passant au mieux par les points ainsi que leur incertitude associée en faisant :

Nexp = 1000 # Nombre de simulations de points de mesure 
la = []
lb = []
for k in range(Nexp): 
    temp_x = np.random.normal(lx, lux) # Simulation aléatoire de valeurs de x 
    temp_y = np.random.normal(ly, luy) # Simulation aléatoire de valeurs de y 
    a,b = np.polyfit(temp_x, temp_y, 1) # Régression linéaire 
    la.append(a) 
    lb.append(b) 
print("Équation de la droite : y=ax+b") 
print("a = {} ± {}".format(np.average(la), np.std(la))) 
print("b = {} ± {}".format(np.average(lb), np.std(lb)))

Si x1, x2 et x3 sont des grandeurs mesurées avec des incertitudes ux1, ux2 et ux3. On peut déterminer l'incertitude sur une grandeur y=f(x1, x2, x3) en faisant :

def f(x1,x2,x3):
  return np.sin(x1)*np.sqrt(x3)/x2**2 #Fonction choise pour l'exemple

Nexp=1000 # Nombre de simulations de points de mesure 
ly = [] # On initialise une liste de puissances vide 
for j in range(Nexp): 
    x1_j = np.random.normal(x1, ux1) # valeur de x1 aléatoire
    x2_j = np.random.normal(x2, ux2) # valeur de x2 aléatoire
    x3_j = np.random.normal(x3, ux3) # valeur de x3 aléatoire
    ly.append(f(x1_j, x2_j, x3_j))
dy = np.std(np.array(ly)) # Calcule l'écart-type de la liste des valeurs de y

lx et ly sont des listes de valeurs de x et y (tableaux numpy), luy est une liste contenant les incertitudes sur les valeurs de y. On souhaite déterminer les valeurs des paramètres p1, p2, p3 tels que la courbe yth=f(lx, p1, p2, p3) passe au plus près des données expérimentales. Par exemple, on cherche à déterminer A et τ tels que la fonction y = A(1-exp(-t/τ)) décrive au mieux les données.

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x, A, tau):
    return A*(1-np.exp(-x/tau))

lx = np.linspace(0,10, 1000)
ly = (1-np.exp(-lx/3))+np.random.normal(np.zeros(len(lx)),0.01)

popt,_ = curve_fit(f, lx, ly, [1,1], 1/luy)

A,tau = popt

plt.plot(lx, ly)
plt.plot(lx, A*(1-np.exp(-lx/tau)))
plt.show()

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