Title: MPSI_Physique-Chimie / 05-Oscillateurs

Recto: Régime apériodique, temps de retour à l'équilibre
Verso: Si \(Q\ll\frac 1 2,\)
\[\tau=\frac 1 {Q\omega_0}\]
retrouver: Qualitativement, plus Q est petit, plus il y a de frottements et plus le système mettra de temps à revenir à l'équilibre. Pour les unités, \(\omega_0\) au dénominateur.
Exactement : il faut résoudre l'équa diff et faire l'approximation que l'une des exponentielles est très vite nulle.

Recto: Régime critique, temps de retour à l'équilibre.
Verso: \(\tau=\frac 1 {\omega_0}\)
retrouver: On rentre \(Q=\frac 1 2\) dans la formule du régime pseudo-périodique.
Sinon, lorsqu'on résoud l'équa diff, on a \((A+Bt)e^{-\omega_0t}\).

Recto: Régime pseudo-périodique, temps de retour à l'équilibre
Verso: \[\tau=\frac{2Q}{\omega_0}\]
retrouver: Qualitativement, plus Q est grand, plus l'oscillateur va osciller longtemps avant de revenir à l'équilibre. \(\omega_0\) au dénominateur pour les unités.
Exactement (pour le 2) : on résoud l'équadif, et on a deux solutions conjuguées. Partie réelle -> \(\frac{2Q}{\omega_0}= \tau\), Partie imaginaire -> \(\omega\)

Recto: Pic de résonance oscillateur : relation entre \(\omega_0\), \(\Delta\omega\) et \(Q\)
Verso: Si \(Q\) assez grand :\(\frac{\omega_0}{\Delta\omega}\approx Q\)
retrouver: Qualitativement, plus le pic est large, moins l'oscillateur est bon, donc plus \(Q\) est petit

Recto: Impédance complexe : Condensateur
Verso: \[Z_C=\frac 1 {jC\omega}\]
retrouver: \(i=C\frac{du}{dt}\) donc \(\underline{i}=jC\omega\underline{u}\)

Recto: Impédance complexe : Bobine
Verso: \[\underline{Z}_L= jL\omega\]
retrouver: \(u=L\frac{di}{dt}\) donc \(\underline{u}=jL\omega\underline{i}\)

Recto: Impédance complexe : Résistance
Verso: \[\underline{Z}_R = R\]
retrouver: \(\underline{u} = R\underline{i}\)

Q: Régime apériodique : facteur de qualité et allure
A: \(Q<\frac 1 2\) pas d'oscillations

Q: Régime critique : facteur de qualité et allure
A: \(Q=\frac 1 2\) retour à l'équilibre le plus rapide

Q: Régime pseudopériodique : facteur de qualité et allure
A: \(Q>\frac 1 2\) oscillations amorties

Recto: Circuit RLC : pulsation propre
Verso: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]
retrouver: Lois de kirchoff dans le circuit et mise de l'équation différentielle sous forme canonique.

Recto: Circuit RLC série : facteur de qualité
Verso: \[Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\]
retrouver: Lois de Kirchoff dans le circuit et mise de l'équation différentielle sous forme canonique

Q: Forme canonique de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique amorti
A: \[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \ldots \]
Le second membre est constant pour un oscillateur en régime libre et dépend du temps pour un oscillateur en régime forcé.